Définition
Problème de Cauchy : problème d'équation différentielle avec une condition initiale $$\begin{cases} y'(t)=F(t,Y(t))\\ y(t_0)=y_0\end{cases}$$
(
Equation différentielle)
Définition :
Étant donné un intervalle ouvert \(I\subset{\Bbb R}\), \(\Omega\subset{\Bbb R}^d\) un ouvert connexe et \(f:I\times\Omega\to{\Bbb R}\) continue, on appelle donnée de Cauchy un couple \((t_0,y_0)\in I\times\Omega\)
On appelle problème de Cauchy associé la recherche d'un couple \((J,y)\), solution au sens suivant :- \(J\subset I\) est un intervalle ouvert contenant \(t_0\)
- \(y:J\to\Omega\) est dérivable sur \(J\)
- le couple \((J,X)\) vérifie : $$\begin{cases}\forall t\in J,y^\prime(t)=F(t,y(t))\\ y(t_0)=y_0\end{cases}$$
(
Solution - Solution locale)
Résolution
Théorème de Cauchy-LipschitzForme intégrale
Théorème de Cauchy-Lipschitz local
Théorème de Cauchy-Lipschitz local :
Il existe une unique solution sur \([t_0-\alpha,t_0+\alpha]\) au problème de Cauchy
Unicité des solutions
Unicité globale d'une solution du problème de Cauchy :
- soit \(F\) une fonction globalement lipschitzienne
- soient \((J_1,y_1),(J_2,y_2)\) deux solutions du problème de Cauchy
- \(J_1\cap J_2\ne\varnothing\)
- \(y_1\) et \(y_2\) coïncident en un point de \(J_1\cap J_2\)
$$\Huge\iff$$
- \(y_1\) et \(y_2\) coïncident sur tout \(J_1\cap J_2\)
